Тікбұрышты изометрия.

Сабақтың тақырыбы: Тікбұрышты изометрия.

Сабақтың мақсаты:

а) Білімділік:

Детальдың күрделілігіне қарай сызбаларын сызу, қажетті өлшемдерін түсіруге үйрету.

ә) Дамытушылық:

Өзіндік практикалық әрекет ортасын қалыптастыру, ой қорытып, нақты шешім жасауға үйрету.

б) Тәрбиелілік:

Сызбаларды салауатты сызып, топпен жұмыс жасап бір – бірін тыңдай білуге үйрету.

Құрал – жабдықтар, көрнекті құралдар:  А4 пішіміндегі қағаз, қарындаштар, сызғыш, өшіргіш, шеңберсызар және тағы басқа.

Сабақтың өту барысы:

1. Ұйымдастыру кезеңі.

а) Сабаққа дайындығын тексеру

б) Оқушыларды түгендеу

в) Үйге берілген тапсырманы тексеру.

г) Үйге тапсырма.

Сабақтың барысы:

Натурал координаталар жүйесінің осьтері аксонометриялық проекция жазықтығына (a°=b°= g°) бірдей бұрыштармен көлбесін (46, а-сурет). Натурал осьтердің p’ жазықтығымен қиылысу нүктелерін X, Ү және Z әріптерімен белгілесек, XYZ теңқабырғалы үшбұрыш екенін, ал бас нүкте XYZ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі О’-қа проекцияланатынын аңғарамыз. Олай болса, аксонометриялық осьтер арасындағы бұрыштар 120° болады (46, ә-сурет). Изометриялық проекцияда и = v = w болатыны туралы жоғарыда айтқан болатынбыз. Ал тікбұрышты аксонометриялық проекциялар үшін и² + v² + w² = 2. Сондықтан бұрмалану көрсеткіштері и = v — w = Ö2/3= 0,82 болады. Бірақ бөлшек бұрмалану көрсеткішін пайдалану қолайсыз болғандыктан, іс жүзінде U= V= W= 1 деп алынады. Сондықтан х’, y’ және z¢ осьтері бағытында нәрсе бұрмаланбай, өздерінің ұзындықтарын сақтап кескінделеді. Тікбұрышты изометрияны тұрғызуға мысалдар қарастырайық.

1 — м ы с а л . А(2; 1; 4), В(1; 2; 0) және С(3; 0; 0) нүктелерін қосатын үшбұрыштың тікбұрышты изометриясын салу керек. Аксонометриялық осьтер жүргізіледі. z¢ осін вертикаль орналастырамыз. Изометрияның қалған осьтерін жүргізу үшін сызғышты кағаздың төменгі жағына горизонталь орналастырып, оған сүйір бұрыштарының бірі 30°, екіншісі 60° болатын бұрыштықтың ұзын катетін тақап қоямыз (47, а-сурет). Бұрыштықтың тік бұрышы оң жақта орналассын. Бұрыштықтың гипотенузасы бойымен түзу жүргізсек, ол х¢ осі болады. z¢  және

х¢  осьтерінің қиылысу нүктесі О¢ аркылы у’ осін жүргізу үшін бұрыштықты оның тік бұрышы сол жақта, ал гипотенузасы О’ нүктесі арқылы өтетіндей етіп орналастыру керек. Қалауымызша масштаб аламыз. А нүктесінің изометриясын
салу үшін координаталық сынық сызық O’A’_хА’₂A’ тұрғызылады (47, ә-сурет). Абсциссалар осіне О¢ нүктесінен бастап 2 кесінді салып, А’_х нүктесін аламыз. А’_х нүктесі арқылы у’ осіне параллель түзу жүргізіп, оның бойына А’_х нүктесінен бастап 1 кесінді салып, А’₂  нүктесін аламыз. А¢₂  нүктесі арқылы z¢ осіне параллель түзу жүргізіп, оған А¢₂  нүктесінен бастап 4 кесінді салып, А нүктесінің изометриясын (А’ нүктесін) табамыз. В және С нүктелерінің изометриялық проекциялары (В¢ және С¢) да координаталары бойынша салынады. В нүктесінің аппликатасы
нөлге тең болғандықтан, оның аксонометриясы және екінші проекциясы бірігеді (В‘= В’₂). Сол сияқты, С нүктесінің ординатасы мен аппликатасы нөлге тең болғандықтан, C¢_х = C¢₂= C¢ болады. Табылған А’, В¢ және C¢ нүктелерін қосатын А¢В¢C¢ үшбұрышы — ABC үшбұрышының тікбұрышты изометриясы.

2 — м ы с а л. ABCDEFMN тікбұрышты параллелепипедінің ұзындығы |АВ| = 5, ені |АD| = 3, және биіктігі |АN| = 7 болсын. Осы параллелепипедтің тікбұрышты изометриясын салайық. Тікбұрышты натурал координаталар жүйесінің бас нүктесі А нүктесімен, абсциссалар осі АВ қырымен және ординаталар осі AD қырымен біріксін. Сонда параллелепипедтің AN қыры аппликаталар осінде жататынына көз жеткізу қиын емес, яғни О = А; х = АВ; у = AD; z = AN. Изометрия осьтерін жүргізейік (48-сурет). А’ нүктесін бірден табамыз, ол бас нүктемен бірігіп түседі (A’ = Q’). Масштаб тағайындаймыз. Абсциссалар осіне 5 кесінді салып, В’ нүктесін, ординаталар осіне 3 кесінді салып, D¢ нүктесін және аппликаталар осіне 7 кесінді салып, N’ нүктесін аламыз. Проекциялау кезінде параллельдік сақталатындықтан, С’ нүктесін В’ нүктесі арқылы у’-қа және D’ нүктесі арқылы x’-қа параллель етіп жүргізілген түзулердің қиылысу нүктесі ретінде, Ғ’ нүктесін N’ нүктесі арқылы у’-қа және D’ нүктесі арқылы z’-қa параллель етіп жүргізілген түзулердің қиылысу нүктесі ретінде және М’ нүктесін В’ нүктесі арқылы z’-қа және N’ нүктесі арқылы x’-қа параллель етіп жүргізілген түзулердің қиылысу нүктесі ретінде анықтаймыз. Ғ’ нүктесі арқылы x’-қа, М’ нүктесі аркылы у’-қа және С’ нүктесі арқылы z’-қа параллель жүргізілген үш түзу бір нүктеде (Е’) қиылысады. Шеңбердің параллель проекциясы, жалпы жағдайда эллипс болатынын білеміз. Сондықтан шеңбердің аксонометриялық проекциясы да, жалпы жағдайда эллипс болады. Тікбұрышты изометрияда xOz жазықтығында немесе оған параллель жазықтықта жатқан шеңбер кіші осі у’-пен бағыттас, ал үлкен осі у’-қа перпендикуляр эллипске проекцияланады (49-суреттегі 1 эллипс). хОу жазықтығында немесе оған параллель жазықтықта жатқан шеңбер кіші осі z’-пен бағыттас, ал үлкен осі z’-қа перпендикуляр эллипске проекцияланады (49-суреттегі 2 эллипс). уОz жазықтығында немесе оған параллель жазықтықта жатқан шеңбер кіші осі х’-пен бағыттас, ал үлкен осі x’-қa перпендикуляр эллипске кескінделеді (49-суреттегі 3 эллипс). Көрсетілген 1, 2 және 3 эллипстердің өлшемдері бірдей. Олардың үлкен осьтері шеңбер диаметрін 1,22-ге, ал кіші осьтері — 0,71-ге көбейткенге тең. Шеңбердің диаметрін латынның d әрпімен белгілеп, былай жазуға болады: |А’В’| = 1,22 · d;  |C’D’| = 0,71 · d. Эллипстің центрі арқылы аксонометриялық осьтерге параллель түзулер жүргізсек, оларға шеңбердің диаметрлері бұрмаланбай кескінделеді: |Е’Ғ’| =|М¢N’| = d. Сонда табылған 8 нүктені эллипстің осьтеріне қарағанда симметриялы болатындай етіп жатық сызықпен қолдан қосу керек. Содан кейін бұл сызық үлгісызғыш көмегімен бастыра жүргізіледі. Керек болған жағдайда жоғарыда қарастырылған (§ 12) әдіспен эллипстің көптеген нүктелерін табуға болады. Іс жүзінде эллипсті сызу қолайсыз-ақ. Сондықтан оларды екі осьті сопақшамен (овалмен) алмастыруға рұқсат етіледі. Эллипстерді сопақшалармен алмастыру жолдарын қарастыралық. хОу жазықтығына параллель жазықтықта орналасқан шеңбердің тікбұрышты изометриясы болатын сопақшаны салуды қарастырайық. Шеңбер центрінің изометриясы О’ нүктесі арқылы х¢ және у’ осьтеріне параллель түзулер жүргізейік (50, а-сурет). Оларға О’ нүктесінен бастап шеңбердің радиусына тең кесінділер салып. A’, К, С’ және D’ нүктелерін аламыз. А’ және В’ нүктелері арқылы C’D’ түзуіне параллель түзулер, ал С’ және D’ нүктелері арқылы А’В’ түзуіне параллель түзулер жүргізсек, 1234 төртбұрышын аламыз. 1234 төртбұрышы ромб екенін дәлелдеу қиын емес. Ромбының үлкен диагоналі — 13 сопақшаның үлкен осінің бағытын анықтайды. 2 нүктесін центр етіп алып, А’ және D’ нүктелерін шеңбердің доғасымен қосамыз, сол сияқты 4 нүктесін центр етіп алып, В’ және С’ нүктелерін шеңбердің доғасымен қосамыз (50, ә-сурет). В’ және С’ нүктелерін 4 нүктесімен қосатын түзулер ромбының үлкен диагоналін 5 және 6 нүктелерінде қияды. 5 нүктесін центр етіп алып, В’ және D’ нүктелерін, 6 нүктесін центр етіп алып, А’ және С’ нүктелерін шеңбердің доғаларымен қосып, алдыңғы екі доғаны тұйықтаймыз. Сонда ромбыға іштей сызылған сопақша алынды. Біз 49-суреттегі 2 эллипсті сопақшамен алмастыруды қарастырдық. 1 және 3 эллипстердің орындарына да сопақшалар осындай ретпен салынады.

Сабақты бекіту:Сабақ тақырыбына байланысты сұрақ – жауап арқылы сабақты бекіту.

Үйге тапсырма беру: ABC үшбұрышының тікбұрышты изометриясын сал. Берілген үшбұрыш төбелерінің координаталары белгілі: А(0; 5; 1),  В(6; 2; 4), С(2; 3; 6).