Арифметикалық және геометриялық прогрессия

Сабақтың тақырыбы: Арифметикалық және геометриялық прогрессия

Сабақтың мақсаты:

1.Білімділік:

Арифметикалық, геометриялық прогрессиялардың қасиеттерін, ерекшеліктері мен ұқсастықтарын, формулаларын сатылай, жүйелі, комплексті меңгерту. Есептер шығаруда дұрыс қолдана алуға үйрету.

Дамытушылық:

Оқушылардың ойлау, есте сақтау, елестету қабілеттерін, танымын дамыту.

Тәрбиелілік:

Оқушылардың белсенділігін арттыру, өз бетінше оқуға, ізденуге тәрбиелеу.

Сабақтың түрі: Қорытындылау сабағы

Сабақтың әдісі: Сатылай комплексті талдау технологиясын, сұрақ-жауап, есептерді шығару, тест алуда деңгейлеп оқыту технологиясын қолдану.

Сабақтың көрнекілігі: плакаттар, тест карточкалары, бағалау беттері

Сабақтың барысы: І. Ұйымдастыру кезеңі

ІІ. Негізгі бөлім

Сан тізбегі

Жұп сан

6.1. мүшесін табу

6.2. Айырымын табу

6.3. Еселігін табу

6.4. мүшелерінің

қосындысын есептеу

Анықтамасы

Тану

Арифметикалық прогрессия Геометриялық прогрессия

2.1. а₁, а₂, а₃, …, а_n

Мысалы

1, 4, 7, …

а₂ — а₁ = а₃ – а₂ = …= a_n_-1 – a_n=d

2.2. (a_n) – арифметикалық

прогрессия

а₁ – бірінші мүше

d – айырымы

n – мүшелерінің саны

а_n – n-ші мүшесі

S_n – алғашқы n мүшесінің

қосындысы

b₁, b₂, b₃, …, b_n

Мысалы

2, 4, 8,16 …

b₂ : b₁ = b₃ : b₂ = …= b_n₊₁ : b_n=q

(b_n) – геометриялық

прогрессия

b₁ – бірінші мүше

q – еселік

n – мүшелерінің саны

b_n – n-ші мүшесі

S_n – алғашқы n мүшесінің

қосындысы

2.3. Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар –

тізбектер. Тізбектер бірнеше тәсілдермен берілетінін еске түсіре кетейік:

2.4. Математикалық белгі

Арифметикалық Геометриялық

прогрессия прогрессия

Қасиеті

Мысалы

1, 3, 5, 7, …

= 3;

= 5

Мысалы

2, 2², 2³, 2⁴, …

= 2²

= 2³

Маңызды түйін

4.1. Рекурренттік формуласы

a_n₊₁= a_n + d, nN b_n₊₁= b_n q, n N

4.2. Қабылдай алатын мәндері

a₁ d — сандар b₁ 0, q 0

d – айырымы q – еселігі

4.3. Жалпы мүшесінің формуласы

a_n = a₁ + (n-1)d b_n = b₁qⁿ^-1

Айырымын табу: Еселікті табу:

d = a_n+1 — a_n q =

4.4. Алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласы

S_n = S_n = (q 1)

4.5. Шексіз кемімелі

геометриялық

прогрессияның

қосындысы

S = ; < 1

5. Түрге айыру

5.1. Арифметикалық прогрессия

d>0, өспелі

айырымы арифметикалық прогрессия

d<0, кемімелі

5.2. Мүшелері тұрақты бір ғана сан болатын тізбек тұрақты

геометриялық прогрессия деп аталады.

Мысалы: 4, 4, 4, … тізбегі q = 1 болғанда тұрақты

геометриялық прогрессия болады.

Түрлену

Арифметикалық прогрессия Геометриялық прогрессия

6.1. мүшесін табу

a₁ = 2 b₁ = 3

d = 5 q = 2

a₇ — ? b₅ — ?

а₇=a₁+6d=2+30=32 b₅=b₁q⁴=32⁴=316=48

6.2. Айырымын табу 6.3. Еселігін табу

a₁=5 b₁ = 3

a₂=7 b₂ = 9

d — ? q — ?

a₂ = a₁ + d b₂ = b₁ q

d = a₂-a₁q = = = 3

d = 2 q = 3

6.4. мүшелерінің қосындысын есептеу

a₁ = 9 b₁ = 1

a₂ = 13 q =

S₅ — ? S₄ — ?

d = a₂ – a₁= 13 – 9 = 4 b₄ = b₁q³ = 1()³ =

a₅ = a₁ +4d = 9+16=25

S₅ = = = 85 S₄ = = = = 2 = =1

Есептер шығару

1. Есептің шарты

2. Берілгені

3. Табу керек

4. Шешуі

5. Жауабы

№1. Арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесі 5-ке тең, айырымы

7-ге тең, оның он екінші мүшесі неге тең екенін бізден сұрайды.

Берілгені: а₁=5

d=7

a₁₂=?

Шешуі:

a₁₂ = a₁ + 11d=5+117=82

Жауабы: 82

№3. Арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесі 25-ке, айырымы 4-ке тең, оның алғашқы он мүщесінің осындысын табыңдар.

Берілгені: a₁= 25

d=4

S₁₀ — ?

Шешуі:

a₁₀= a₁ + 9d=25+94=61

S₁₀ = = 5 86 = 430

Жауабы: 430

№5. Берілгені: a₁₀ = 120

d = 12

a₁ — ?

Шешуі:

a₁₀ = a₁ + 9d

a₁=a₁₀-9d=120-108=12

a₁=12

Жауабы: 12

№2. Геометриялық прогрессияның бірінші мүшесі 3-ке, еселігі — ге тең, оның үшінші мүшесі неге тең екені бізден сұрайды.

Берілгені: b₁=3

b₃=?

Шешуі:

b₃= b₁q²=3= 3=

Жауабы:

№4. Геометриялық прогрессияның бірінші мүшесі мен үшінші мүшесінің қосындысы 60-қа тең, еселігі 3-ке тең. Оның алғашқы төрт мүшесінің қосындысын табыңдар.

Берілгені: b₁+b₃= 60

q = 3

S₄ — ?

Шешуі:

b₃ = b₁ q²

b₁ + b₁q² = 60

b₁(1+q²)= 60

b¹(1+9)= 60

10b₁=60

b₁=6

S₄ = = 380 = 240

Жауабы: 240

№6. Берілгені: b₁=5

b₅=3125

q — ?

Шешуі:

b₅=b₁q⁴;

q⁴===625

q⁴ = 625

q⁴ = 5⁴

q = 5

Жауабы: q = 5

Деңгейлік тапсырмалар бойынша тест алу

Топ	Рет саны	Тапсырмалар		Жауаптары
		Берілгені	Табу керек	А		В	С
А	1	a₁= –3,a₂=10	d	13		3	-13
	2	b₁=3, q=2	S₅	36		93	30
	3	a₁=5, d=4	a₆	25		27	30

Топ	Рет саны	Тапсырмалар		Жауаптары
		Берілгені	Табу керек	А	В			С
B	1	a₁= 3,d=2	a₃₀	65	61			67
	2	b₁=7, q=4	b₄	448	508			334
	3	b₁=3, q=3	S₆	1092	1016			1025

Топ	Рет саны	Тапсырмалар		Жауаптары
Топ	Рет саны	Берілгені	Табу керек	А	В	С
C	1	b₁= –3,q=	b₅		—	—
	2	b₄=24, b₆=96	q	2	2	3
	3	a₄=10, a₆=20	а₁	-5	-7	5

Шығармашылық жұмыс (үй тапсырмасы бойынша)

Математика тарихынан

1-оқушы: Егер арифметикалық прогрессия туралы айтсақ,

неміс математигі К.Гаусс (1777-1855) бастауыш класс оқып жүргенінде мұғалім есептің шартын оқып болмай жатып-ақ 1-ден 100-ге дейінгі натурал сандардың қосындысын тапқан.

2-оқушы: Геометриялық прогрессияның ертедегі есебінің бірі

«Үндінің патшасы Шерамның шахматты ойлап тапқан ғалым Сетаға бермек болған сыйлығын есептей келгенде «Бүкіл дүние жүзінің астығы» жетпейтін орасан көп сан шығады».

1-оқушы: Мысырлықтардың Ринд папирусының кейбір

есептерін прогрессия есебі деуге болады. Мысалы: «10 өлшем арпаны 10 адамға бөліп бер, әр адамға беретін арпа өлшемнің бір-бірінен айырмасы болсын».

Папирусқа 7 санының дәрежелері 7, 7², 7³, 7⁴, 7⁵ және оның жанына: үй, мысық, тышқан, арпа, өлшем деген сөздер жазылған. Мұны шешіп оқыған тарихшы «7 үйдің әр қайсысында 7 мысық бар, әр мысық 7 тышқан жейді. Әр тышқан 7 арпаның масағын жейді, әр масақта 7 өлшем арпа өседі» деген болу керек дейді. Мұндай есептер түрліше өзгеріп басқа халықтарға тарады.

2-оқушы: Прогрессиялар мен тізбектер жөніндегі ілімнің

алғашқы нысандары мысырлықтар мен вавилондықтардан басталды. Олар бүгінгі біздің сабағымыздағы қорытып шығарған формулаларымызды пайдаланып есептер шығарған деп қорытындылағымыз келеді.

Үйге тапсырма № 254, № 284, № 312

Бағалау