Алғашқы функция және интеграл

Тақырыбы : Алғашқы функция және интеграл

Жағыпарова Данагүл Дәулетқызы,

«Түркістан» көпсалалы медицина колледжі,

                математика пәнінің оқытушысы                            

І.   Тақырыптың мотивациялық сипаттамасы :

Координатаны дифференциалдау арқылы s¢ (t)=v (t) жылдамдықты табамыз. Екінші рет дифференциалдасақ, үдеу табылады. v¢(t)= a (t)

Алайда механикада нүктенің үдеуі a (t) белгілі, жылдамдықтың өзгеру v¢(t) заңын және сондай-ақ  s(t) координатасын табу керек болады. Мұндай есептерді шығару үшін дифференциалдау амалына кері интегралдау амалын қолданамыз.

Интегралдау есебі дегеніміз – берілген функция үшін оның барлық алғашқы функцияларын табу. Қисық сызықты трапецияның ауданын Ньютон – Лейбниц формуласы арқылы табамыз.

ІІ. Cабақ мақсаты :

      Оқыту :

• Теориялық материалдарды нақты есептер шығарту

арқылы студенттерге меңгерту

• Студенттерді алғашқы функция, интегралға арналған есептерді   шешу дағдыларына жетілдіру

Тәрбиелік :

• Студенттерді ұйымшылдыққа, ұқыптылыққа, дәлдікке тәрбиелеу
• Студенттерді өздігінше жұмыс істеуге дағдыландыру

 Дамыту :

• Студенттердің ойын жеткізе білуін және ой-өрісін дамыту

     Оқушы білуі  керек :

• алғашқы функция ұғымын
• берілген функция үшін оның барлық алғашқы функцияларын табуды
• анықталмаған интеграл анықтамасын
• интегралдау есебі дегеніміз не екенін
• анықталған интегралды есептеу жолдарын
• Ньютон – Лейбниц формуласын
• анықталған және анықталмаған интеграл қасиеттерін

III. Сабақтың түрі

Пысықтау  сабағы

ІV.  Сабақ барысында қолданылатын басқа әдістер :

1. Фронтальді сұрау
2. Әңгімелесу әдісі
3. Бақылау әдісі
4. Іздену жұмысы
5. Тесттерді қолдану әдісі

VIII.  Сабақтың барысы :

1. Ұйымдастыру кезеңі 2–3 минут  

Оқытушы журналды толтырып, студенттерді түгелдейді . Студенттердің сыртқы көрінісіне, аудиторияның тазалығына, студенттердің сабаққа дайындығына көңіл аударады .

2. Оқытушының кіріспе сөзі 2–3 минут
3. Оқытушы бүгінгі өтілетін тақырыпты айтып, тақырыптың маңыздылығын түсіндіреді. Үй тапсырмасына берілген есептерді тексеріп, қиындық туғызған есептерді талқылайды.

3.Үй тапсырмасы бойынша сайыс өткізу

Тақырыбы: Алғашқы функция ұғымы. Интегралдар.

Оқытушы үй тапсырмасына тоқталып, студенттерді отырған қатарлары бойынша  үш топқа бөледі.

І  топ  — ² Алғырлар ²

ІІ  топ  — ² Зеректер ²

ІІІ топ – ² Тапқырлар ²

Әр оқушының жинаған ұпайы  бағалау парағына жазылып отырады.

3.1. Сайыстың  І бөлімі ²Біліктілік ² сайысы деп аталады.

Бүгінгі күн сайыста,

Сен ешкімнен қалыспа

Біліміңді көрсетер,

Сұрақтарға жауап бер –

деген  сыртында алатын ұпайы жазылған ұяшық сұрақтарына әр топтан  оқушылар жауап береді. Жауап бере алмай қалған оқушы үшін ұпай жойылып, сол топтағы басқа оқушы жауап береді, ол да жауап бере алмаса, қарсыластары жауап берулеріне болады. Бұл кезде, ұпай солардың есебіне кетеді.

Сұрақтар:

1. Алғашқы функция ұғымы. (4 ұпай)

      Анықтама: Егер берілген аралықта F′(х) = ¦ (х) теңдігі орындалатын болса, онда осы  аралықта F(х) функциясын  ¦(х) функциясы үшін алғашқы функция деп атайды.

1- мысал:  ¦ (х) =3х², хÎR функциясы үшін алғашқы функция  F(x)=x³ болады, себебі    F’ (x)= 3х² =¦ (х) әрбір  хÎR функциясы үшін.

2- мысал:  F (x)= х³  / 3 функциясы  F (x)= х² функция үшін (- ¥; ¥) интервалында алғашқы функция болады , өйткені барлық  х (- ¥; ¥) үшін

F’ (x)= ( х³  / 3 )’  = 1 / 3 (х³) ‘ =1 / 3 ∙ 3х²  =  x² = ¦ (х).

2. Алғашқы функцияның негізгі қасиеті (4 ұпай)

Белгілі бір I аралықта ¦(х) функциясы үшін  алғашқы функциялардың кез-келгенін мына түрде жазып көрсетуге болады,

F (x) + С       (1)

мұндағы С — кез-келген тұрақты шама, ал F(x)+С  I аралығында ¦(х) функциясы   үшін алғашқы функция болып табылады.

егер у = x², онда у’ = 2x

егер у = x² +84, онда у’=2x

егер у = x²-15, онда у’=2x

3. Алғашқы функцияны табудың үш ережесі (5 ұпай)

Бұл ережелер дифференциалдаудың сәйкес ережелеріне ұқсас.

1 – ереже.  Егер ¦  үшін алғашқы  функция F, ал g үшін алғашқы функция G болса ,

 ¦ + g үшін алғашқы функция  F + G болады .

      Шынында да, F¢ = ¦ және G¢ = g  болатындықтан, қосындының туындысын есептеу ережесі бойынша:

(F + G)¢ = F¢ + G¢ = ¦ + g

2 – ереже. Егер ¦  үшін алғашқы  функция F, ал k – тұрақты шама болса , онда k¦ үшін алғашқы функция  k F  болады .

Шынында да, тұрақты көбейткішті туынды таңбасының алдына шығаруға болады, сондықтан

(kF)¢ = kF¢  = k¦

3 – ереже.  Егер F(x) функциясы ¦ (x)  үшін алғашқы  функция,  ал k мен b – тұрақты шамалар болып ,  k ¹ 0 болса , онда ¦ (kx + b) функциясы  үшін алғашқы функция

                                                                  1

                                                                ── F (kx + b) болады.

                                                                 k

      Шынында да, күрделі функцияның туындысын есептеу ережесі  бойынша

1                             1

              ── (F (kx + b)) ¢ = ──  F ¢(kx + b)×(kx+b)¢ = ¦ (kx + b)

                k                             k

4. Функцияның тұрақтылық белгісі (3 ұпай)

Функцияның тұрақтылық белгісі . Егер қандай да бір I аралықта

F’ (x)=0 болса, онда F функциясы осы аралықта тұрақты шама болады.

5. Анықталмаған интеграл дегеніміз не? (4 ұпай)

Анықтама : Берілген аралықтағы ¦(х) функциясының алғашқы функциясы осы аралықтағы ¦(х) функциясының анықталмаған интегралы деп аталады.

Белгіленуі:  ò ¦(х) dx ( икстен эф де икс функциясының анықталмаған интегралы деп оқылады)

Анықтамаға сәйкес: ò¦(х)dx=F(x)+C

Мұндағы:   ò — интеграл таңбасы

¦(х) – интеграл астындағы функция

¦(х) dx – интеграл астындағы өрнек

х- интегралдау айнымалысы

C- кез-келген тұрақты шама

6. Интегралдау ережелері (4 ұпай )

Алғашқы функцияны табудың ережелерін анықталмаған интеграл белгісінің көмегі арқылы жазған ыңғайлы.

1. ∫ [¦ (x)± g (x)]dx =∫ ¦(x)dx ±∫ g (x)dx
2. ∫ k∙¦ (x)dx = k∙∫ ¦ (x)∙dx, k- const

1

3. ∫ ¦ (kx+b)dx =  ¾¾  F (kx+b)+C,  k¹0

k

7. Анықталмаған интеграл қасиеттері (5 ұпай)

Анықталмаған интеграл қасиеттері:

• ( ∫ ¦ (x)∙dx)¢ = ¦(x)

• d ( ∫¦ (x)∙dx) = ¦(x)∙dx

• ∫ ¦ ¢(x)∙dx = ¦ (x)+C

• ∫ d ¦ (x) = ¦ (x) + C

•  ∫ k∙¦ (x)∙dx = k∙∫ ¦ (x)∙dx

• ∫ [ ¦ (x)+ g (x) — h (x)]∙dx =∫ ¦(x)∙dx +∫ g (x)∙dx — ∫ h (x)∙dx

8. 8. Анықталған интеграл қасиеттері: (5 ұпай)

a

• ∫ ¦ (x)∙dx = 0

а

b                    a

• ∫ ¦ (x)∙dx = — ∫ ¦ (x)∙dx

a                     b

b               c              b

• ò¦(x) dx =∫ ¦(x)∙dx +∫ ¦ (x)∙dx

a              a               c

b                                    b                 b

• ∫ [ ¦ (x)± g (x) ]∙dx =∫ ¦(x)∙dx ±∫ g (x)∙dx

a                                a               a

b                       b

• ∫ k∙¦ (x)∙dx = k∙∫ ¦ (x)∙dx, k- const

a                       a

9. 9. Анықталған интеграл мен алғашқы функцияның арасындағы байланыс (Ньютон-Лейбниц формуласы) ( 4 ұпай)

b                          b 

ò ¦(x) dx= F (x)      = F (b) — F (a)   (1)

                             a                           a

(1)  формула   Ньютон – Лейбниц  формуласы деп аталады.

Бұл формула  [a;b] кесіндісінде үзіліссіз кез-келген ¦ функциясы үшін тура.

3.2  Сайыстың II бөлімі «Тапқырлық»  сайысы деп аталады.

Лайықтап жазылған ұпайлары,

Интегралға есеп бар мұнда тағы

Алғашқы функциясын табарсың қателеспей,

Жетерлік болса егер білім жағы –

деп мұнда  сыртына ұпайы жазылған есептер шығарылады. Есептер кеспе қағаздар арқылы таратылады.

F(х) функциясының f(х) функциясы үшін көрсетілген аралықта алғашқы функция болатынын дәлелде:

1. F(х)=sin²x,    f(x)= sin2x , xÎR    (3 ұпай)

Шешуі:    F¢(х)=(sin²x)¢= 2 sinx (sinx)¢= 2 sinx cosx= sin2x

1

2. F(х)= ¾ cos 2x,    f(x)= -sin2x,   xÎR    (3 ұпай)

2

1                   1

Шешуі: F¢(х)=( ¾ cos 2x)¢= ¾ (- sin2x)(2x)¢= — sin2x

2                   2

3. F(х)= sin 3x,     f(x)=3 cos 3x,    xÎR    (3 ұпай)

Шешуі:   F¢(х)= (sin 3x)¢= cos 3x (3x)¢= 3 cos 3x

Анықталмаған интегралды табыңыз:

X²

4. 4. ò3х dx = 3òх dx=3 ¾ + C                  (4 ұпай)

2

x³

5. ò(3х²-1) dx = ò3х² dx-  ò1dx=3 ¾ — x+C= x³— x+ C  (4 ұпай)

3

x ^-4+1                  x ^-3                       1

6. òdx / x⁴  = ò x ^-4 dx= ¾¾ + C= ¾¾ + C= — ¾¾ + C  (4 ұпай)

—4+1               -3                     3х³

Ал басқа оқушылар үшін интерактивті тақтаға жазылған есептерді шешу ұсынылады. Әрбір есеп 5 ұпайға саналады.

1. 1. y= x+2, x=-1, x=2 және х осімен шектелген фигураның ауданы неге тең?

2                    x^{2             2}           2²                      (-1)²                               15    

∫ (x+2)∙dx =( ¾ +2x)ê= ( ¾ +2×2)-[ ¾¾ + 2 ×(-1)]=  ¾

-1                     2        -1       2                  2                       2

2. 2. у= 4x-x², x=-2, x=2 және х осімен шектелген фигураның ауданы неге тең?

0                   2                               x^{3    0}                          x^{3     2}                              (-2)³

∫ (4x-x²)∙dx+∫(4x-x²)∙dx = -(2x²— ¾ )½+ — (2 x² — ¾ )½=[0-(2×(-2)² — ¾ ) ] +

-2                  0                               3   -2                 3    0                      3

+ [2×2²-2³/ 3)-0]=8+8 / 3+ 8+ 8 / 3=16

3. 3. y = ln x, y=1, y=3 және y осімен шектелген фигураның ауданы неге тең?

y=ln xÞ x=e^y

        ^{3                                   3}

∫ ½e^y½dy =( e^y)½ = e³ — e

1                          1

Әр топтың ұпайлары анықталады. Орнында отырып шығарған есептер тексеріліп, ұпай беріледі.

Оны да бағалау парағына жазып қояды.

• Сайыстың  III  бөлімі ²Кім жылдам? ² деп аталады.  Мұнда тест бойынша студенттердің білім деңгейі тексеріледі.

Қорытындылау:  3 — 5 мин.

Бағалау парағы бойынша, оқушылар бағаланады және жеңген топ жарияланады. Оқытушы ерекше көзге түскен топты және оқушыларды атап өтеді.

 IХ.  Әдебиеттер :

Негізгі   1. Алгебра және анализ бастамалары  10 -11 сынып

А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын

    Қосымша

1.  «Шың»  Математика -2 , Исмаил Акйол  2006 жыл  Алматы.
2.   Алгебра және анализ бастамалары  «Әдістемелік нұсқау»

11 сынып  2006 жыл   А. Е. Әбілқасымова, М. И. Есенова,

З. А. Жұмағұлова.

3. «Алгебра и начала анализа»  под  редакцией

Г. Н. Яковлева  1987г  Москва «Наука».

4. Математикалық талдау III-бөлім Т. Ахметқалиев 1997                          

                          Алматы.