Оқушылардың ой өрiсiн дамытуға ықпал жасайтын есептер.

Мен  бiрнеше жылдан берi математика мәнiнен 7-8 сыныптар арасында факультатив курсын өткiзiп келемiн.

Басты мақсатым —  оқушылардың  ойлау қабiлетiн тереңдету, пәнге қызығуларын арттыру үшiн мектеп бағдарламасынан тыс қиынырақ есептердi шығаруға үйрету.

Бұл сабақтарда теңдеудiң бүтiн(натурал) сандар жиынында шешiмiн табу,санның бесiншi дөрежесiнiң қасиетi, қысқаша көбейту формуласы бойынша жай көбейткiштерге жiктеу және ықшамдау т.б.Осы жұмыс нәтижесiнде  оқушыларым үлкен жеiтiстiктерге жетiп, олимпиадалар мен математикалық регаталарда жүлделi орындар алып жүр. Оқушылармен  орындаған  кейбiр есептердi журнал оқырмандары назарына ұсынып отырмын.

1. (a-1)x=12 теңдеуiнiң түбiрi натурал сан болатын а-ның барлық натурал мәндерiн табыңдар.
   Шешуi: х=12/(а-1); а-1¹0; а¹1 ендi (а-1) өрнегiнiң мәнi 12-нiң бөлгiштерi болатын жағдайларды қарастырайық:
   а-1=12,  а=13,  х=1
   а-1=6,  а=7,  х=2
   а-1=4,  а=5,  х=3
   а-1=3,  а=4,  х=4
   а-1=2,  а=3,  х=6
   жауабы: 2, 3,4,5,7,13
2. Алты таңбалы санның бiрiншi цифры төртiншiсiмен, екiншiсi бiсiншiсiмен, ал екіншiншiсi алтыншы цифрмен беттеседi. Бұл санның 7, 11 және 13 сандарына еселiк екенiн дәлелдеңдер.
   Шешуi: санның бiрiншi цифрын а, екiншiсiн b, үшiншiсiн с әрiптерiмен белгiлесек, берiлген сан abcabc түрiнде жазылады. Бұдан abcabc=1000abc+abc=1001abc=7*11*13abc
3. Қандайда бiр екi таңбалы санның оң және сол жағына бiр санын тiркеп жазғанда берiлген саннан 23 есе артық сан шықты, сол санды табындар.
   Шешуi: iзделiндi екi таңбалы сан ab-болсын. Есептiң шартынан 1ab1=23ab теңдеуiн жазамыз немесе 1000+10ab+1=23ab ,бұдан ab=77.
4. 2х²+2y²—өрнегiн екi өрнектiң квадраттарының қосындысы түрiнде жаз.
   Шешуi: 2х²+2y²=x²+2xy +y²+ x²-2xy +y²=(x+y)²+(x-y)²
5. x²-y²=30 теңдеунiң бүтiн шешуiнiң болмайтындығын дәлелде.
   Дәлелдеуi: теңдеудiң  оң  және   сол жақтарын көбейткiштерге жiктеп (x+y)(x-y)= ab түрiнде жазамыз, мұндағы а мен в көбейтiндiсi 30-ға тең болатын бүтiн сандар: a=±1, b=±30, a=±2, b=±15, a=±3, b=±10, a=±5, b=±6 ж„не керiсiнше a=±30, b=±1, a=±15, b=±2, a=±10, b=±3, a=±6, b=±5, соЎЈы теЎдеуден     x-y=a

x+y=b    жүйенi жазамыз.

Жүйедегi теңдеулердi қоссақ2х=а+b, 2x – жұп сан, ал a+b саны олардың жоғарыда көрсетiлген мәндерiнде тақ сан екенiне тексеру арқылы  көз жеткiземiз. Жұп санның тақ санға тең болматындығынан, берiлген   теңдеудiң бүтiн шешуi болмайтындығы шығады.

6. х-пен у-тiң қандай натурал мәнiнде 3х+7у=23 теңдiгi орындалады?
   Шешуi: берiлген теңдеуден у-тi х-арқылы өрнектемiз у=(23-3х)/7=(21+2-3х)/7=3+(2-3х)/7 х-тiң ең кiшi натурал мәнiн таңдап аламыз х=3 болса, у=2.     жауабы х=3 у=2.
7. 11⁶+14⁶-13³ –өрнегiн мәнi 10-ға еселiк екенiн дәлелдеңдер.
   Шешуi: 11⁶ саны 1 цифрымен аяқталады. 14⁶ саны 6 цифрымен, 13³— саны 7 цифрымен аяқталады. Демек берiлген өрнек нөлмен аяқталады, яғни 10-ға еселiк.
8. Теңдеулер жүейсiн шеш:
   x+y+z+u=5
   y+z+u+v=1
   z+u+v+x=2
   u+v+x+y=0
   v+x+y++z=4.
   Шешуi: теңдеудiң оң жақ сол жақ мүшелерiн қосамыз, сонда мынадай теңдеу шығады: x+y+z+u+v=3. Шыққан теңдеу арқылы берiлген жүйедегi теңдеулердi пайдаланып белгiсiз айнымалыларды табамыз. Бұдан x=2,y=1,z=3,u=-1,v=-2.
9. x²-2x+y²-4y+5=0 – теңдеуiн шеш.
   (x²-2x+1)+(y²-4y+4)=0
   (x-1)²+(y-2)²=0 ,бґл теңдiк (x-1)²=0, (y-2)²=0 болғанда ғана орындалады,  ендеше   x=1; y=2
10. х²-у²= 69 теңдеуiн ғана қаттандыратын натурал сан болатынын дәлелде.шешуi  (х-у)(х+у)= а в мұндағы а мен в натурал сандар iрiктеп алумыз бойынша а=13, в=3
11. өрнектiң мәнiн табыңдар (3-2) (3+2) (3²+2²) (3⁴+2⁴) (3⁸+2⁸) (3¹⁶+2¹⁶)=

(3²-2²) (3²+2²) (3⁴+2⁴) (3⁸+2⁸) (3¹⁶+2¹⁶)= (3⁴-2⁴) (3⁴+2⁴) (3⁸+2⁸) (3¹⁶+2¹⁶)=

(3⁸-2⁸) (3⁸+2⁸) (3¹⁶+2¹⁶)= (3¹⁶-2¹⁶) (3¹⁶+2¹⁶) =(3³²+2³²).

12. өрнектің мәнiн табындар: (a-b)=1

(а+b) (a²+b²) (a⁴+b⁴) (a⁸+b⁸) (a¹⁶+b¹⁶)(a³²+b³²) – (a⁶⁴-b⁶⁴). Алдыңғы есептегi түрлендiрудi пайдаланып өрнектiң мәнi нөлге тең екенiне оңай көз жеткiземiз.

Д.Пойа айтқандай:”Егер мұғалiм өз пәнiне шын ықыласымен берiлсе,онда бүкiл сыныпта бұл пәнге ынтасымен берiлетiн болады. Егерде, пән сiздi қызықтырмаса және оны терең бiлмесеңiз онда сабақ беруден бас тарту керек. Себебi сiз ешқашанда сабақты жақсы бере алмайсыз”. Расында да. Пәндi сүю және оны терең бiлу – мұғалiмге қажеттi шарт. Алайда бұл жеткiлiктi емес. Бiз өзiмiздiң пәнге деген қызығушылығымызды өз оқушыларымыздың бойына сiңiре бiлуiмiз қажет. Ол үшiн талмай iзденiспен жұмыс жасауымыз қажет.