Санның логарифмі. Негізгі логарифмдік тепе-теңдік. Логарифмнің қасиеттері

Сабақтың  тақырыбы :        Санның логарифмі. Негізгі логарифмдік  тепе-теңдік. Логарифмнің қасиеттері

Сақбақтың мақсаты:

Білімділік: Санның логарифмі ұғымымен таныстырып, негізгі логарифмдік тепе-теңдікті. Логарифмнің қасиеттерін. Логарифмді табуды үйрету

Дамытушылық: Оқушылардың алгебра пәні бойынша түсініктерін кеңейту, есеп шығару қабілетін дамыту. Ой-өрісін кеңейту.

Тәрбиелілік: Оқушыларды алған білімдерін өмірде пайдалана алуға тәрбиелеу.

Сабақтың түрі:           Жаңа сабақ

Көрнекілігі:                 компьютер, Интерактивті тақта

Сабақтың құрылымы: Ұйымдастыру

Өткен тақырыптардын қайталау сабағы

Жаңа сабақты түсіндіру

Ауызша есептер шығару

Тақырыпқа тиісті есептер

Тест есептері

Сабақты қорытындылау

Үйге тапсырма беру

1.Ұйымдастыру

2.Өткен тақырыптардын сұрақтар:

Теңдеуді шешіңдер:        1.   9*81^1-2х=27^2-х

2. 5^х-4,8=0,2 ^х

Теңсіздікті шешіңдер: 3.

Алгебраны кейде «жеті амаладан тұратын арифметика» деп атайды. Себебі алгебра төрт арифметикалық амалдан басқа дәрежеге шығару және оған кері екі амалды қарастырады.

5*5*5=125 теңдңгін алайық. Бұл теңдік дәрежеге шығару деп аталатын бесінші амал. Бұл амалда дәреженің негізі (5 саны) және дәреженің көрсеткіші (3 саны) беріліп дәреженің мәні (125 саны) ізделінеді. Енді дәрежеге шығаруға кері екі амалды анықтайық.

• 125 санын алу үшін қандай санды үшінші дәрежеге шығару қажет

екенін анықтау керек болсын. Егер ол санды х деп белгілесек.  Онда х³=125 теңдеуін аламыз.

Берілген дәреже (125 саны) және оның берілген көрсеткіші (3 саны)

бойынша х санын табу амалы түбір шығару деп аталып, былай белгіленеді:

түбір шығару алтыншы алгебралық амал.

• 125 санын алу үшін негізі 5 болатын дәрежені қандай көрсеткішке

шығару керек? Ол санды х деп белгілесек. Онда 5^х=125 түрінде теңдеуді аламыз. Дәреженің берілген негізі (3 саны) және берілген дәреже (125 саны) бойынша дәреженің көрсеткішін (х) табу амалын логарифмді табу деп атаймыз. Бұл алгебралық жетінші амал болып табылады.  Бұл амал 125 санының 5 негізі бойынша логарифмі деп аталады.  Оны log₅125=3 деп жазамыз.

Сонымен, дәрежеге шығаруға кері екі амал бар екеніне көз жеткіздік. «Енді осы амалдар әр түрлі амалдар ма?» деген сұрақ туады. Мысалы, көбейту амалының екі кері амалы 1) берілген көбейтінді мен белгілі екінші көбейткіш бойынша белгісізбелгісіз бірінші, екінші көбейткішті табу. Бірақ бұл екі амал әр түрлі еме, бір амал яғни көбейту амалы болып табылады. Бұл екі кері амалдың бірігуі көбейтудің ауыстырымдылық қасиетін береді.

Қосу амалына да осы сөзді айтуға болады.

Осы ауыстырымдылық қасиет дәрежеге шығару амалы үшін орындалса, онда жоғарыда көрсетілген кері амалдар «түбір шығару» мен «логарифмді табу» бір амалды берер еді. Бірақ дәрежеге шығару амалы үшін ауыстырымдылық қасиеті орындалмайды.мысалы, 5²≠2⁵,  10³≠3³

Анықтама. Қандайда бір а санын х дәрежеге шығару арқылы алынған в санын а^х =b теңдеуі түрінде жазуға болады, мұндағы а және b- берілген сандар, ал х-белгісіз шама.

Анықтама. b саны шұғу үшін а негізі шығарылатын х дәреже көрсеткішін в санының а негізі бойынша логарифмі деп атайды.

log_аb =х жазуы негізі а болатын b санының логарифмі х ке тең деп оқылады.

1-мысал. Негізі 5ке тең 25, 625, және 1/125 сандарының логарифмдерін табайық.

Шешуі. Негізі 5 болатын 25 санының логарифмі 2-ге тең, себебі 5²=25 немесе log₅25=2.

log₅625=4           5⁴=625

log₅1∕125=-3       5^-3=125

Санның логарифмі анықтамасынан а^log_а^b=b  теңдігі шығады

Бұл теңдікті логарифмнің негізгі тепе-теңдігі деп атайды.

2-мысал.

Енді берілген екі сан бойынша үшінші санды табу, яғни 1) а^х=b; 2) x^a=b; 3)a^c=x түріндегі мысалдарға есептер шығарайық.

3-мысал. Негізі 9 болатын 27 санының логарифмін анықтайық.

Шешуі.

log₉27=х   болсын логарифмнің анықтамасы бойынша, 9^х=27 немесе (3²)^х=3³, бұдан х=3/2

жауабы 3/2

4-мысал.  16 санының логарифмі қандай негізінде 4-ке тең болатыны анықтайық.

Шешуі. Логарифмнің негізі белгісіз болғандықтан

log_х16=4. деп жазуға болады. Логарифмнің анықтамасы бойынша, х⁴=16 бұдан х=2

Жауабы :2

5-мысал. Негізі 3 болғанда 4 ке тең логарифмді анықтайық.

Шешуі. Белгісіз санды х деп белгілесек, log₃х=4. шығады. Логарифмнің анықтамасы бойынша, х=3⁴  яғни х=81

Жауабы: 81

Логарифмнің қасиеттері:

• негіз а (а кез келген оң сан) болатын а санының логарифмі бірге тең:

log_аа =1;

• негізі а болатын бр санының логарифмі нөлге тең:

log_а1 =0;

• екі немесе бірнеше оң сандардың көбейтндіснің логарифмі көбейткіштердің логарифмдерінің қосыедысына тең:

log_аbс = log_аb+ log_ас

• қатынастың немесе бөлшектің логарифмі алымының логарифмі мен бөлімінің логарифмінің айырымына тең:
• Дәреженің логарифмі дәреже көрсеткішін дәреже негізінің логрифміне көбейткенге тең:
• Жаңа негізге көшу формуласы:

Анықтама. Негізі 10 болатын санның логарифмі ондық логарифм деп аталады.

Ондық логарифмді жазу үшін lg белгісі қоданылады.

Мысалы, log₁₀217 орнына lg217 деп жазылады

Анықтама. Негізі е болатын санның логарифмі натурал логарифм деп аталады.

Натурал логарифмді жазу үшін ln белгісі қолданылады.

Мысалы, log_e13  орнына ln13

Ауызша   есептер:

№228

1; 9; 81; 243;   сандарының негізі 3 болатын логарифмін табыңдар.

Жауабы: 0; 2; 4; 5; -1; -3

№229

1) log₂16= 4                  2) log_0,20,04= 2                 3)

4)                  5) log₂₃1= 0                       6)

Сабақты бекіту.

№230 1) log₅22-log₅11-log₅10=

2)  log₃8-log₃4+log₃=

3) log₂7-log₂63+log₅36=

• log₇64+log₇256+log₇28=

№234 Ондық логарифмді есептеңдер:

• lg10000=
• lg0,1=
• lg0,0001=
• lg=

№235 Натурал логарифмді есептңдер:

• =
• lne=
• ln=
• ln(lg10)=

№237 Есептеңдер:

1)

2)

3)

4)

Тест есептері

Үйге тапсырма : № 238