Көрсеткіштік теңдеу

Сабақтың мақсаты:  Білімділігі: Оқушыларға көрсеткіштік теңдеудің анықтамасын және  шешу әдістерін меңгерту.

Дамытушылығы:  Оқушылардың тез ойлау қабілеттерін арттыру,

теориялық білімін практикада қолдана білу дағдысын  қалыптастыру.

Тәрбиелігі: Бірлесіп жұмыс істеуге, сыйластыққа, жауапкершілікке,

ұйымшылдыққа тәрбиелеу.

Сабақтың типі: Жаңа тақырыпты таныстыру сабағы.

Сабақтың көрнекілігі: Интерактивті тақта, тест тапсырмалары, деңгейлік

тапсырмалар.

Сабақтың жоспары: 1. Ұйымдастыру

2. Қайталау сұрақтары (үй тапсырмасын тексеру)
3. Жаңа сабақ
4. Жаңа сабақты бекіту
5. Деңгейлік тапсырмалар
6. Үйге тапсырма
7. Қорытындылау

1. Ұйымдастыру бөлімі.
2. Үй тапсырмасын тексеру.

Оқушылардың білімдерін тақырып бойынша тексеруге арналған сұрақтар.

Сынып 2 топқа бөлінеді.

I топ

1. Көрсеткіштік функцияның анықтамасы
2. Көрсеткіштік функцияның мәндерінің облысы
3. «… болғанда y=a^x көрсеткіштік функция нақты сандар жиынында кемиді»
4. y=2^x -1 функциясының графигі координат жазықтығының қай ширегінде орналасқан
5. y=│3^x -1│ функциясының графигін сыз

II топ

1. Көрсеткіштік функцияның анықталу облысы
2. «… болғанда y=a^x  көрсеткіштік функция бүкіл сан түзуінде өседі
3. y=a^x көрсеткіштік функциясы үздіксіз бола ма?

Егер ол үздіксіз болса, онда х-тің қандай мәндерінде үздіксіз болады.

4. y= — 2^x  функциясының мәндер облысы
5. y=3^│x│ функциясының  графигін сыз

• Жаңа сабақ

Белгісіз шама дәреженің көрсеткішінде болып келетін теңдеулерді

көрсеткшітік  теңдеулер деп атайды.

Көрсеткіштік теңдеулер

• Бірдей негізге келтіру
• Жаңа айнымалы енгізу
• Графиктік
• Логарифмдеу

тәсілдерімен шешіледі.

Бірдей негізге келтіру арқылы шығарылатын теңдеу.

• a^x=b ( a>0,  a≠1)

Егер b>0 болса, теңдеудің жалғыз ғана түбірі бар болады.

Егер b≤0 болса, теңдеудің түбірі жоқ болады.

• a^f(x)=a^g(x) мұндағы (a>0, a≠1) теңдеуінің сол және оң бөліктерінің

негіздері бірдей болғандықтан, a^f(x)=a^g(x)   теңдеуі  f(x)=g(x) теңдеуімен мәндес болады.

Мысал: 5^x=125

Шешуі: ,  125>0,  125=5³ ,5^x=5³,  x=3    Жауабы: 3

Мысал: 2^x-1=1

Шешуі: 2^x-1=2⁰, x-1=0,  x=1                    Жауабы:1

Мысал:          = 5∙

Шешуі: барлық дәрежелерді бір ғана 5негізге келтіреміз.

Сонда 5^0,5-x ∙5^-0,5=5∙5^-2x+2 теңдеуін аламыз, оны 5^-x=5^-2x+3 түріне түрлендіреміз де,  дәреже көрсеткіштерін теңестіріп,теңдеуді шешеміз:

–x= -2x+3,  x=3     Жауабы: 3

Жаңа айнымалы енгізу арқылы жиі шығарылатын теңдеулер.

• A∙a^2x+B∙a^x+C=0 a>0,  a≠1

a^x=y, y>0 деп белгілесек, у-ке қатысты квадрат теңдеуге келеді. Ay²+By+C=0

Мысал: 5^2x-6∙5^x+5=0

Шешуі: 5^x=y, y>0 белгілесек у-ке байланысты y²-6y+5=0 квадрат теңдеуіне келеміз. Бұдан y₁=1, y₂=5 екенін табамыз.

у-тің екі мәніне сәйкес екі көрсеткіштік теңдеу шығады.

• 5^x=1, x=0
• 5^x=5, x=1

Бұл теңдеулерден есептің екі жауабы шығады.    Жауабы: 0; 1

2) A∙a^x+B∙a^-x+C=0             a^x=y   (y>0) деп белгілесек,

Ay²+Cy+B=0 квадрат теңдеуге келеміз.

Мысал: 5^x-24=25∙5^-x

Шешуі: 5^x=y, y²-24y-25=0 квадрат теңдеуге келеміз.

y>0

y₁= -1;  y₂=25  у –тің таңбасын ескере отырып теңдеуді шешсек,

• 5^x= -1 (бұл теңдеудің нақты түбірі жоқ),өйткені кез келген х€R үшін 5^x>0
• 5^x=25, 5^x=5², x=2          Жауабы: 2
• A∙a^2x+B(a∙b)^x+C∙b^2x=0

Егер теңдеудің барлық мүшелерін b^2x≠0, өрнегіне бөлсек  мынадай түрге келеміз: A∙      деп белгілесек, у-ке байланысты  Ay²+By+C=0 теңдеуге келеміз.

Мысал: 6∙3^2x-13∙6^x+6∙2^2x=0

Шешуі: 6∙3^2x-13∙(2∙3)^x+6∙2^2x=0, 6^x=(2∙3)^x=2^x∙3^x  теңдеуді шешу үшін екі жағын 2^2x≠0 бөлеміз.

6∙  — 13∙    + 6 = 0;       = y,   (y>0)   деп белгілесек у-ке байланысты квадрат теңдеу шығады.

6y²-13y+6=0

y₁ = ;   y_{2 =}

• = , x=1
• = , ,   x=-1

Жауабы: -1; 1

Кейде көрсеткіштік функцияны ортақ көбейткіш ретінде жақша сыртына шығару арқылы шешкен тиімді болады.

Мысал: 5^x+5^x+2=26

Шешуі:  5^x(1+5²)=26

5^x∙26=26

5^x=1

x=0                 Жауабы: 0

Графиктік тәсілмен шығарылатын теңдеулер.

a^φ(x)=f(x) түріндегі теңдеулер

Ал мұндай теңдеулер түбірлерінің жуық мәндерін графиктік тәсілмен табуға болады.

a^x=b        a>0,  a≠1,  b>0

y=b түзуі y=a^x функциясының графигін бір ғана нүктеде қиып өтеді. Қиылысу нүктесінің абсциссасы берілген көрсеткіштік теңдеудің түбірі болады.

Мысал: 2^x=6-x

Шешуі: y=6-x түзуі y=2^x функциясының графиктерін сызып, олардың қиылысу нүктесінің абсциссасын табайық. Екі графиктің қиылысу нүктесінің абсциссасы x=2.

Жауабы: 2

Негіздері әр түрлі болып келген көрсеткіштік теңдеулерді шешу мысалдары.

Мысал:  2^x=3^x

Шешуі:  3^x>0,   =1,  = ,  x=0              Жауабы: 0

Мысал:  + =4

=  =

+  = 4,     = y,  (y>0)  деп белгілесек

y +  = 4,   y² — 4y + 1= 0,  y_1,2 =2 ±

•    = 2 +

= 1 ,     x = 2

•   = 2

=

= -1  ,    x = -2

Жауабы:

Мысал: 7 ^х-4 = 10 ^x-4 ,    Шешуі: теңдіктің екі жағын 10 ^х-4 –ке бөлеміз

= 1,  = , x-4=0,x=4    Жауабы: 4

Оқулықпен жұмыс:  № 168;  № 176;  № 177

Көрсеткіштік теңдеулерді шешу икемдіктерін тексеру / тест /

I топ

1. 9^x — 4∙3^x -45=0
2. 5 B) 2      C) -5      D) 9      E) 7
3. 5^x+1 + 2∙5^x = 175
4. 1 B)       C) 0     D) 4       E) 2
5. 4^x – 10∙2^x-1 – 24 = 0
6. 3,8 B) -3,8       C) 8        D) -3;3        E) 3
7. 8^x-3 = 9^x-3
8. 4     B) 3        C) 2          D) 1
9. ∙    = 36
10. 2 B) 4        C) 1        D) -1
11. 5^x-1 + 5^x-2 + 5^x-3 = 155
12. 0 B) 2        C) 625         D) 1,24         E) 4
13. 125 ∙ 25^x – 70 ∙10 ^x + 8∙4^x =0
14. 1;1 B) -2;-1        C) 2;2          D) -3;3       E) (-1;1)

II топ

1. 121^x -2∙11^x +1 = 0
2. 2 B) 3        C) 1           D) 0           E) 6
3. 2^x+4 + 3∙2^x = 76
4. 2 B) 4         C) 3,5          D) 4,5       E) 3
5. 4^x + 2^x+1 – 24 = 0
6. -2;6 B) 2         C) 2;-6          D) -4;6           E) 4;-6
7. 2^x-4 = 5^x-4
8. 4 B) 3          C) 2           D)1

5.  ∙    = 216
6. 3 B) 9         C) 1              D) 0
7. 3^x + 3^x+1 +3^x+2 +3^x+3 = 360
8. 2 B) -2           C) 4            D) 1         E)3
9. 7∙49^x + 5∙14^x = 2∙4^x
10. B) -0,5        C) -1         D) 1         E) 0,5

Деңгейлік тапсырмалар  (тақтада орындалады)

I топ

А деңгейі

9^x+1 + 9^2x-1 = 54 ∙ 27^x-1

Жауабы: х=2

В деңгейі

4^{2x – 3x +3} = 24 – 12 + 6 – 3 + …

Жауабы: ;1

С деңгейі

8^x+1 + 8∙(0,5)^3x + 3∙2^x+3 = 125-24∙(0,5)^x

Жауабы: x₁ = 1,   x₂ = -2

II топ

А деңгейі

2^x+2 -2^x+3 – 2^x+4 = 5^x+1 – 5^x+2

Жауабы: 0

В деңгейі

5^│4x-6│ = 25^3x-4

Жауабы: 1;4

С деңгейі

12^x + 5^x = 13^x

Жауабы: 2

Сабақты қорытындылау.

Оқушылардың білімін бағалау.

Үйге тапсырма :   № 175