Санау жүйесінің түрлері, оларды түрлендіру. Ауыстыру ережелері

Берілген сұрақтар бойынша оқушылардың пікірлері тыңдалады.

Ондық жүйе позициялық болып табылады, өйткені ондық санды жазуда цифрдың мәні оның позициясына немесе санда орналасқан орнына байланысты.

Санның цифрына бөлінетін  позицияны разряд деп атайды. Мысалы, 425 жазуы 4 жүздіктен, 2 ондықтан және 5 бірліктен тұратын сан екенін білдіреді. 5 цифрі — бірліктер разрядында, 2-ондықтар разрядында, 4-жүздіктер разрядында тұрады. Егер осы цифрларды басқа ретте жазатын болсақ, мысалы, 524, онда сан 5 жүздіктен, 2 ондықтан жѕне 4 бірліктен тұрады.

Бұл кезде 5 үлкендеу салмақты болады және санның үлкен цифры деп аталады, ал 4 цифры кішкене салмақты болады да, осы санның кішкентай цифрф деп аталады. Егер 524 санын қосынды түрінде жазатын болсақ:                5*10²+2*10¹+4*10⁰

Егер сан ондық бөлшек болса, онда ол да қосынды түрінде оңай  жазылады. Әр цифрдың бөлшек бөлігі  үшін негіздеуші дәреже теріс.

Мысалы, 384,9506 ондық саны мынадай қосындымен белгіленеді:

384,9506=3*10²+8*10¹+4*10⁰+9*10^-1+5*10^-2+0*10^-3+6*10^-4

Екілік санау жүйесі. Компьютерде әдетте ондық емес позициялық екілік санау жүйесі, яғни 2 негіздеуші бар санау жүйесі қолданылады.Екілік жүйеде кез келген сан екі 0 және 1 цифрларының көмегімен жазылады және екілік сан деп аталады. мысалы, 110101,111₂.

Ондық сандар сияқты, кез келген екілік санды екілік санға кіретін цифрлар салмағыныњ айырмашылығын анық бейнелейтін қосынды түрінде жазуға болады. Бұл қосындыда негіздеуші ретінде 2 санын қолдануға болады. Мысалы, 1010101,101 екілік сан үшін қосынды мына түрде болады:

1*2⁶+0*2⁵+1*2⁴+0*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰+1*2-¹+0*2^-2+1*2^-3

Бұл қосынды ондық сан үшін жазылған қосындының ережесі бойынша жазылады. Берілген мысалда екілік сан жетісанды бүтін және үшсанды бөлшек бөліктерінен тұрады. Сондықтан бүтін бөліктің үлкен цифры, яғни 2⁷-1=2⁶ -ға көбейтіледі, бүтін бөліктің нөлге тең келесі саны, 2⁵-ке көбейтіледі және т.с.с. Осы қосындыда ондық жүйенің ережесі бойынша арифметикалық операцияларды орындай отырып,  85,625 санын аламыз. 1010101,101₂=85,625₁₀.

Сегіздік санау жүйесі.  Сегіздік санау жүйесі, яғни 8 негіздеуші санау жүйесі, сегіз цифрдың көмегімен санды көрсетеді: 0,1,2,3,4,5,6,7. Мысалы, 357₈=3*8²+5*8¹+7*8⁰, мұнда 357 санының индексі «8» санау жүйесін білдіреді.   Жазылған қосындыда ондық жүйенің ережесі бойынша арифметикалық әрекеттерді орындай отырып, 357₈=239₁₀ аламыз.

Он алтылық санау жүйесі.  Екілік санды жазуды қысқарту үшін 16 негіздеуші бар санау жүйесінің цифрлары 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 және  жетпейтін алты цифрды белгілеу үшін ондық сандарының мәні 10,11,12,13,14 және 15 болатын сәйкес латын алфавитінің алғашқы үлкен әріптері: A, B, C, D, E, F қолданылады. Осылайша ондық  жүйеніњ  барлық цифрлары жѕне  сонымен қатар латынның алты әріптері он алтылық жүйенің «цифрлары» болып табылады.

3E5A1 санын негіздеуіші 16 қосындысы түрінде есептеп жазсақ, мынаны аламыз:

3E5A1₁₆=3*16⁴+E*16³+5*16²+A*16¹+1*16⁰

3Е5А1₁₆=255393₁₀

Сандарды бір санау жүйесінен басқа санау жүйесіне аустыру.

Бүтін ондық сандарды екілік сандар жүйесіне ауыстыру. Ондық санды екілікке ауыстырған кезде осы санды 2-ге бөлу қажет. Мысалы, 891 санын ондық жүйеден екілік жүйеге ауыстыру.

Шешімі:

891:2=445, қалдық 1

445:2=222, қалдық 1

222:2=111, қалдық 0

111:2=55, қалдық 1

55:2=27, қалдық 1

27:2=13, қалдық 1

13:2=6,қалдық 1

6:2=3, қалдық 0

3:2=1, қалдық 1

1:2=0, қалдық 1 (екілік санның үлкен цифры)

Бір қатарға соңына бөліндіні және соңғысынан бастап барлық қалдықтарды жазамыз.   Жауабы: 891₁₀=1101111011₂.

Ондық санды сегіздік санау жүйесіне ауыстыру. Ондық жүйеден сандарды сегіздік санау жүйесіне ауыстыру үшін екілік жүйесіне ауыстырған кездегі әдісті қолдануға болады.

Мысалы, ондық жүйедегі 891 санын сегіздік санау жүйесіне келтірейік.

Шешуі:

981:8=111, қалдық 3-ке тең;

111:8=13, қалдық 7-ге тең;

13:8=1, қалдық 5-ке тең;

1:8=0, қалдық 1-ге тең.

Жауабы: 891₁₀=1573₈

Енді ондық бөлшектерді екілік санау жүйесіне ауыстырып көрейік. Мысал. 0,35 ондық бөлшегін екілік санау жуйесіне ауыстырайық.

Екілік бөлшектің үтірден кейінгі бірінші цифрын табу үшін берілген санды 2-ге көбейтіп, көбейтіндінің бүтін бөлігін ерекшелеу керек.

Шешуі:

0,35• 2 = 0,7, бүтін бөлігі 0-ге тен;

0,7•  2 = 1,4, бүтін бөлігі 1-ге тен;

0,4 • 2 = 0,8, бүтін бөлігі 0-ге тен;

0,8 • 2 = 1,6, бүтін бөлігі 1-ге тен;

0,6 • 2 = 1,2, бүтін бөлігі 1-ге тен;

0,2 • 2 = 0,4, бүтін бөлігі 0-ге тен;

0,4 • 2 = 0,8, бүтін бөлігі 0-ге тен.

Соңғы көбейтінді екінші рет қайталанып тұр, яғни ауыстыру аяқталды. Алынған бүтін бөліктің мәнін бірінші цифрдан бастап бір жолға жазамыз.

Жауабы: 0,35₁₀ = 0,101100_2.

2-ге көбейткенде әрқашанда ондық санның тек бөлшек бөлігі ғана катысады.

а) 10100011₂=163₁₀ ә) 11011001₂=217₁₀

2. Сегіздік санау жүйесінен ондық санау жүйесіне аударыңдар:

а) 446₈ =294₁₀  ә) 636₈ = 1174₁₀

3.Ондық сандарды және ондық бөлшектерді екілік санау жүйесіне аудару:

625₁₀=            743₁₀=            322₁₀=             0,322₁₀=                 0,386₁₀=

4. Кестені толтыру

2. Кез келген арифметикалық амалдардың көмегімен бес бірліктен немесе бес бестіктен 100 санын құрыңдар. Бес бестіктен 100 санын екі тәсілмен құрыңдар.

3. Тізбектелген әр түрлі тоғыз цифрдан  амал таңбаларымен біріктіріп, 100 санын жаз.

4. 1*2*3*4*5 жазуындағы жұлдызшаларды амал таңбаларымен ауыстырып және жақшаларды қойып мәні 100-ге тең болатын өрнек құру керек.

5. Амал таңбаларын және төрт рет 2 цифрын қолданып мәні: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 сандарына тең болатын өрнекті құрыңдар.

6. 7х9+12:3-2 жазуындағы өрнектің мәні 23 және 75 болатындай етіп, жақшаларды қойыңдар.

а) 10100011₂=163₁₀ ә) 11011001₂=217₁₀

2. Сегіздік санау жүйесінен ондық санау жүйесіне аударыңдар:

а) 446₈ =294₁₀  ә) 636₈ = 1174₁₀

3.Ондық сандарды және ондық бөлшектерді екілік санау жүйесіне аудару:

625₁₀=            743₁₀=            322₁₀=             0,322₁₀=                 0,386₁₀=

4. Кестені толтыру

2.         100=111-11 (егер дәрежелеуді арифметикалық амал деп алатын болсақ, онда (11-1)¹ֿ¹.  100=  5х5х5-5х5=(5+5+5+5)х5.

3.         1+2+3+4+5+6+7+8х9 бүтін бір коллекция болуы мүмкін. Тағы бір мысал: 1х23+4+5+67-8+9.

4.         Мысалы: 1х(2+3)х4х5.

5.         1) 22-22=0; 2) 22:22=1; 3) 2Х2+2:2=2; 4) (2+2+2): 2=3; 5) 2х2+2-2=8; 6) 2х2+2:2=5; 7) 2х2х2-2=6; 8)2+2+2+2=8; 9) 22:2-2=9; 10) 2х2х2+2=10.

23=(7х9+12):3-2;  75=(7х9+12):(3-2).