Виет теоремасы

Сабақтың тақырыбы: Виет теоремасы

Сабақтың мақсаты:

Білімділігі: Квадрат теңдеуді Виет теоремасын пайдалана отырып, теңдеуді тез шешуді меңгерту.

Тәрбиелігі: оқушының пәнге қызығушылығын арттыру, математикалық мәдениетке тәрбиелеу, өз ойын дәл айта білуге үйрету.

Дамытушылығы: Оқушыны ұқыпты тыңдауға, тез шешім қабылдай алуға, берілген тапсырманы іздену арқылы өз бетімен меңгеруге үйрету.

Сабақтың түрі: жаңа тақырыпты игерту

Сабақтың әдісі: СТО, деңгейлеп оқыту элементтері

Сабақтың көрнекілігі: интерактивті тақта, әр түрлі тірек схемалары

Сабақтың барысы

І. Ұйымдастыру

ІІ. Үй тапсырмасы (қызығушылықты ояту)

ІІІ. Жаңа сабақ (мағынаны тану)

ІҮ. Оқулықпен жұмыс (ой толғаныс)

Ү. Ой сергіту (алтын сандық)

ҮІ. Ой қорыту (тест тапсырмалары)

ҮІІ. Үйге тапсырма

ҮІІІ. Бағалау

Сабақтың жүрісі:

І. Ұйымдастыру

Оқушыларды түгендеп, сабаққа ынтасын арттыру.

ІІ. Үй тапсырмасы(қызығушылықты ояту)

Оқушылардан үй тапсырмасын №146-есепті тірек схемалар бойынша сұраққа жауап алу

х²-5׀х׀+6=0 ±2, ±5 ±2, ±3 ±1, ±3
х²-2׀х׀-15=0 ±5 ±2, ±1,5 ±1
2х²+3׀х׀-5=0 ±1 ±1, ±3 ±1, ±5
3х²-4׀х׀+1=0 ±1 ±1, ±1/3 ±1/3

Қайталау сұрақтары «Кім тапқыр?»

Квадрат теңдеу деген не?
2х²-5х-3═0 теңдеуінің коэффициенттерін атап шығыңдар
Квадрат теңдеу түрлерін ата
х²+px+q=0 ………….. теңдеу?
Егер Д>0 болса, онда квадрат теңдеудің неше түбірі болады?
Егер Д<0 болса, онда квадрат теңдеудің неше түбірі болады?
Егер Д=0 болса, онда квадрат теңдеудің неше түбірі болады?
ах²+с=0, в=0 ……………….теңдеу?
в²-4ас формуласымен есептелетін сан қалай аталады?
Квадрат теңдеудегі а, в, с қалай аталады?

Сөзжұмбақ

ах²+вх+с=0 (а≠0) теңдеуі қалай аталады? (квадрат)
Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласындағы түбір астындағы өрнек (дискриминант)
Квадрат теңдеудегі а және в қалай аталады? (коэффициент)
Квадрат теңдеудің дербес түрі (толымсыз)

Тарихи дерек (математик Француа Виет туралы айту)

Француа Виет (1540-1603) – француз математигі, алгебралық шартты белгілер жүйесін енгізген элементар алгебраның негізін қалаушы. Ол алғашқылардың бірі болып сандарды әріптермен белгілеуді енгізіп, теңдеулер теориясын едәуір дамытқан. Негізі мамандығы бойынша заң қызметкері.

Алдыңғы параграфта сендер жалпы түрдегі ах²+вх+с=0, мұндағы а≠0, теңдеуінің түбірлерін белгілесек, онда

х₁=-в+√в²-4ас/2а және х₂=-в-√в²-4ас/2а болатыны белгілі.

Олай болса, х₁+х₂=-в/а және х₁∙х₂₌с/а

Мысалы, 5х²-48х-20=0 теңдеуі үшін х₁+х₂=48/5 және х₁∙х₂₌-20/5=-4

ах²+вх+с=0 (а≠0) теңдеуінің екі жақ бөлігін бірінші коэффициент а-ға бөліп, х²+в/а+с/а=0

келтірілген квадрат теңдеуін алуға болатынын, сонымен қатар келтірілген квадрат теңдеу

х²+px+q=0

түрінде жазылатынын білеміз. Теңдеулерді салыстырсақ, p=в/а, q=с/а шығады. Жоғарыда х₁+х₂=-в/а және х₁∙х₂₌с/а болатыны анықталды. Демек, х₁+х₂ =— p және х₁∙х₂₌ q деп тұжырымдауға болады.

Теорема. Келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы қарама-қарсы таңбамен алынған екінші коэффициентке, ал көбейтінділері бос мүшеге тең.

Теорема бойынша: х₁+х₂ =— p және х₁∙х₂₌ q

Бұл теорема Виет теоремасы деп аталады.

1-мысал. х²-8х+15=0 теңдеуінің түбірлерін анықтайық.

Шешуі. Берілген теңдеудің түбірлерінің қосындысы 8-ге, ал түбірлерінің көбейтіндісі 15-ке тең, өйткені Виет теоремасы бойынша p=-8, ал q=15. Енді осы шартты қанағаттандыратын сандар жұбын табамыз. Ол сандар 3және 5 екені айқын, өйткені 3∙5=15 және 3+5=8. Жауабы: 3;5

Виет теоремасына кері теорема да дұрыс.

Теорема (Виет теоремасына кері теорема). Егер екі санның қосындысы –p-ға, ал олардың көбейтіндісі q-ға тең болса, онда ол сандар х²+px+q=0 теңдеуінің түбірлері болады.

2-мысал. Егер 11 және -2 сандары келтірілген квадрат теңдеудің түбірлері болса, онда квадрат теңдеуді құрайық.

Шешуі. Квадрат теңдеуді құру үшін, алдымен х₁=11 және х₂₌-2 түбірлерінің қосындысы мен көбейтіндісін табамыз. Сонда х₁+х₂ =9, х₁∙х₂₌-22. Виет теоремасы бойынша келтірілген квадрат теңдеудің екінші коэффициенті түбірлерінің қосындысына қарама-қарсы сан, ал бос мүше түбірлердің көбейтіндісіне тең екенін ескеріп, p=-9 және q=-22 аламыз. Сонда х²-9х-22=0 келтірілген квадрат теңдеу шығады. Жауабы: х²-9х-22=0

ІҮ. Оқулықпен жұмыс (ой толғаныс)

І деңгей

№147. Түбірлердің қосындысы мен көбейтіндісін табыңдар:

х²-6х+8=0 4) х²-7х+2=0
х²-5х+6=0 5) х²-6х+5=0
х²+2х-3=0 6) х²-х-30=0

№148. Белгілі түбірлері бойынша квадрат теңдеу құрыңдар:

2 және 3
6 және 2
5 және 3

ІІ деңгей

№162. Белгілі х₁ түбірі бойынша квадрат теңдеудің екінші түбірін табыңдар:

х²+х-12=0, х₁=-4 3) 6х²-5х+1=0, х₁=1/3
12х²+5х-2=0, х₁=-2/3 4) 20х²+31х+12=0, х₁=-4/5

ІІІ деңгей

№163. х_1, х₂ сандары ах²+вх+с=0 теңдеуінің түбірлері болса, онда

3х²-5х-2=0 теңдеуі үшін х₁²+х₂²
6х²+5х-1=0 теңдеуі үшін 1/х₁²+1/х₂² өрнегінің мәнін табыңдар.

Ү. Ой сергіту (алтын сандық)

ҮІ. Ой қорыту (тест тапсырмалары)

Берілген теңдеулердің қайсысы квадрат теңдеу болады?

А. х⁴-2,5х+7=0 С. 3,2х+х³=0

В. 3х²-0,1х-5=0 Д. 6х²+0,1х³+13=0

2) Берілген теңдеулердің арасынан келтірілген квадрат теңдеуді көрсетіңдер.

А. 5х²-29=0 С. х³+х²+12х=0

В. -х²+2х-4,8=0 Д. х²-0,7х-3/4=0

3) Түбірлері х₁=-1,8 және х₂₌5 болатын квадрат теңдеу құрыңдар.

А. 2х²+3,2х-3=0 С. х²+3,2х-9=0

В. х²-3,2х-9=0 Д. -х²-3,2х+9=0

4) Екі санның қосындысының мәні 15, ал көбейтіндісінің мәні 54. Осы сандарды табыңдар.

А. 6;9 С. -3;-18

В. 3;18 Д.- 6;-9

5) х²-6х+8=0 теңдеуіндегі p мен q-дің мәндерін табыңдар.

А. p=-4 және q=2 С. p=4 және q=2

В. p=4 және q=-2 Д. p=-2 және q=4

Жауаптары: 1А; 2Д; 3В; 4А; 5С

ҮІІ. Үйге тапсырма

Виет теоремасына кері теореманы өз бетінше уйден дәлелдеп, мысалдар келтіру.
№153, №159 есептерді шығару

ҮІІІ. Бағалау

Ашық журналдағы оқушылардың сабаққа қатысы бойынша бағалау

Виет, теоремасы